Kandi.tex

\documentclass[12pt,a4paper,leqno]{report}

%\usepackage[ansinew]{inputenc} Vaihdettu paketti alla olevaan, jotta ääkköset toimii
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}         
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\usepackage{hyperref}  
\usepackage{url}

\usepackage{blindtext} % Lorem,  POISTA

\usepackage[nottoc]{tocbibind} % Löhteet sisällykseen
%\usepackage[round,sort,comma]{natbib} % Natbib että harvard
\usepackage[fixlanguage]{babelbib}
\selectbiblanguage{finnish}


\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\No}{\mathbb{N}_0}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{diam}}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{lause}[equation]{Lause}
\newtheorem{lem}[equation]{Lemma}
\newtheorem{prop}[equation]{Propositio}
\newtheorem{kor}[equation]{Korollaari}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{maar}[equation]{Määritelmä}
\newtheorem{konj}[equation]{Konjektuuri}
\newtheorem{esim}[equation]{Esimerkki}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{huom}[equation]{Huomautus}

\pagestyle{plain}
\setcounter{page}{1}
\addtolength{\hoffset}{-1.15cm}
\addtolength{\textwidth}{2.3cm}
\addtolength{\voffset}{0.45cm}
\addtolength{\textheight}{-0.9cm}

\title{Kandidaatin tutkielma\\ {\Large Kausaalipäättely ja epätäydellinen informaatio takuukäsittelyissä}} % Parempi otsikko
\author{Riku Laine, Helsingin yliopisto}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

\chapter{Esipuhe ja kiitokset}\label{epkiit}

Kiitokset Michael Mathioudakikselle ja 

\chapter{Tiivistelmä}\label{tiiv}

\chapter{Johdanto}\label{johd}

Tämän tutkielman tavoitteena on ennustaa yhdysvaltalaisten rikollisten rikoksen uusimisriskiä kausaalipäättelyä hyödyntävällä mallilla. Onngelma mallia selective labels.

% https://julkaisut.valtioneuvosto.fi/bitstream/handle/10024/76171/omkm_2009_2.pdf
% https://www.mass.gov/files/documents/2016/09/qx/bail-in-united-states-literature-review.pdf

\section{Takuukäsittely prosessina}\label{pros}

Yhdysvalloissa voi päästä vapaaksi rahaa.

Vuokaavio oikeus käsittelyn kulusta??

\blindtext

\section{Yhteiskunnallinen merkitys}\label{ykmerk}

\blindtext

\section{''Kausaalipäättely uutena paradigmana''}\label{para}

Haluamme siiirtyä assosiatiivisesta päättelystä kausaalipäättelyyn,, koska defninitiiivesten pätöksin tekeminen muuten hankalaa. Lisäksi on ylitettävä korrelaatio ei ole kausaatiota -kynnys, erityisesti \cite{pearl10}.

\blindtext

\chapter{Data}\label{data}

Tässä luvussa kuvaillaan käytetyt datasetit ja niiden ominaispiirteet.

\section{COMPAS}\label{compas}

\blindtext

\section{Synteettinen}\label{synteettinen}

Synteettinen data luodaan, kuten Lakkaraju selostaa \cite{lakkaraju17}. Ensinn koostettiina.

\section{''Selective labels''}\label{sl}

\chapter{Metodit}\label{metodit}

Tässä kappaleessa selostan analyyseissa, mallinnuksessa ja validoinnissa käyttämäni metodit.

\section{Aiemmat tutkimukset}\label{aiemmat}

Aiemmat tutkimukset ovat lähestyneeyt monesta näklökulmasta, mutta ilman kausaatiota.

\section{Validointimetodit}\label{validointi}

Ristiin taulukoinnit yms.

\section{Kausaalipäättely}\label{kausaali}

Erityisesti \cite{pearl10}

\subsection{Johdanto}\label{kausaalijohd}


\subsection{Merkinnät}\label{kausaalimerk}

\blindtext

\subsection{Määritelmät}\label{kausaalimäär}

\blindmathpaper

\subsection{Malli}\label{kausaalimalli}

\blindmathpaper

\chapter{Tulokset}\label{tulokset}

\blindmathpaper

\section{Synteettinen}\label{synttulokset}

\blindmathpaper

\section{Compas}\label{compastulokset}

\begin{maar}\label{tngenmaar}
Jos $X$ on diskreetti satunnaismuuttuja, joka saa
arvokseen luonnollisia lukuja, niin $X$:n \emph{todennäkäisyysgeneroiva 
funktio} on
\begin{equation}\label{genf}
G_X(t)=\sum_{k=0}^\infty P(X=k) t^k=\sum_{k=0}^\infty p_k t^k.
\end{equation}
\end{maar}

Mikäli $X$:n arvojoukko on äärellinen ja arvojoukon jäsenten todennäkäisyydet
ovat nollasta poikkeavia, $G_X$ on määritelty kaikilla reaaliluvuilla
$t$. Muutoin $G_X$ on määritelty ainoastaan niille $t\in\R$, joilla $G_X$
suppenee. Koska pistetodennäkäisyydet $p_k=P(X=k)$ ovat ei-negatiivisia ja 
summautuvat ykkäseksi, sarja suppenee ainakin suljetulla välillä $t\in[-1, 1]$.

Generoiva funktio voidaan odotusarvon avulla ilmaista muodossa
\begin{equation}\label{genvar}
G_X(t) = E(t^X).
\end{equation}

\begin{lause}
Jos $X$ on diskreetti satunnaismuuttuja, joka saa arvokseen
luonnollisia lukuja, niin $X$:n todennäkäisyysgeneroiva funktio määrää $X$:n
jakauman yksikäsitteisesti.
\end{lause}

\begin{proof}
Koska määritelmän mukaan $G_X$ on ainakin välillä $[-1, 1]$ suppeneva
potenssisarja, niin sillä on kaikkien kertalukujen derivaatat ainakin
välillä $(-1, 1)$ ja
\[
p_k=\frac{G_X^{(k)}(0)}{k!},\quad k\in\N. 
\]
Tästä näemme, että $G_X$ määrää luvut $p_k$ ja täten $X$:n 
jakauman yksikäsitteisesti.
\end{proof}

Seuraavaksi esittelemme tutuimpien diskreettien jakaumien todennäkäisyysgeneroivat
funktiot. Jne\ldots

\chapter{Diskussio}\label{diskussio}

\begin{maar}\label{mommaar}
Jos $X$ on satunnaismuuttuja ja odotusarvo $E(e^{tX})$
on olemassa, kun $|t| < \delta$, $\delta > 0$, niin $X$:n \emph{momenttigeneroiva 
funktio} on
\begin{equation}\label{momf}
M_X(t) = E(e^{tX}).
\end{equation}
\end{maar}

Todennäkäisyys- ja momenttigeneroivilla funktioilla on seuraava yhteys:

\begin{lause}
Jos $X$ on diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko sisältyy
joukkoon $\{0,1,2,\ldots\}$, niin 
\[
M_X(t) = G_X(e^t)
\]
edellyttäen, että $G_X$ on olemassa, kun $|t| < 1 + \delta$, $\delta > 0$.
\end{lause}

\begin{proof} Nyt
\[
M_X(t) = E(e^{tX}) = E((e^t)^X) = G_X(e^t).\qedhere
\]
\end{proof}

Ja niin edelleen\ldots

\nocite{*}

\bibliographystyle{babplain}
\bibliography{viitteet} 

\end{document}