Newer
Older
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Imports\n",
"\n",
"import numpy as np\n",
"import pandas as pd\n",
"from datetime import datetime\n",
"import matplotlib.pyplot as plt\n",
"import scipy.stats as scs\n",
"import scipy.integrate as si\n",
"import seaborn as sns\n",
"import numpy.random as npr\n",
"from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder\n",
"from sklearn.linear_model import LinearRegression, LogisticRegression\n",
"from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier\n",
"from sklearn.model_selection import train_test_split\n",
"from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures\n",
"\n",
"\n",
"# Settings\n",
"\n",
"%matplotlib inline\n",
"\n",
"plt.rcParams.update({'font.size': 16})\n",
"plt.rcParams.update({'figure.figsize': (14, 7)})\n",
"\n",
"# Suppress deprecation warnings.\n",
"\n",
"import warnings\n",
"\n",
"\n",
"def fxn():\n",
" warnings.warn(\"deprecated\", DeprecationWarning)\n",
"\n",
"\n",
"with warnings.catch_warnings():\n",
" warnings.simplefilter(\"ignore\")\n",
" fxn()\n",
" \n",
"def sigmoid(x):\n",
" '''Return value of sigmoid function (inverse of logit) at x.'''\n",
"\n",
" return 1 / (1 + np.exp(-x))\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"In the code below\n",
"\n",
"$$P(Y=0|do(R=r))=\\int_x P(Y=0|T=1, X=x)P(T=1|R=r, X=x)f_x(x)~dx$$\n",
"\n",
"where $f_x(x)$ is the pdf of x. (Now $X \\sim U(0, 1)$, so $f_x(x)=1$.)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"metadata": {
"scrolled": false
},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"Bias: (0.07558160888120039, 8.391244241812189e-16)\n",
"Bias: (0.03647337206409673, 4.0493577451280163e-16)\n",
"Estimated: 0.03910840191792689\n",
"Difference: -0.0020125513839807097\n",
"\n",
"Values for P(y=0|do(r=1)) and P(y=0|do(r=0))\n",
"\n",
"Analytical: 0.14973849934787756 0.11264264881393138\n",
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
]
}
],
"source": [
"###\n",
"# Synthetic data\n",
"\n",
"# R ~ U(0,1)\n",
"# X ~ N(0,1)\n",
"# T ~ Bin(1, sigmoid(a * r + b * x))\n",
"# Y ~ Bin(1, sigmoid(c * t + d * x))\n",
"\n",
"# Weights:\n",
"# R -> T: a\n",
"# X -> T: b\n",
"# T -> Y: c\n",
"# X -> Y: d\n",
"\n",
"N = 12000\n",
"a = 1\n",
"b = 1\n",
"c = 1\n",
"d = 1\n",
"\n",
"\n",
"def generateData(N=N, a=a, b=b, c=c, d=d):\n",
"\n",
" r = npr.uniform(size=N)\n",
" x = npr.uniform(size=N)\n",
"\n",
" t = npr.binomial(n=1, p=sigmoid(a * r + b * x), size=N)\n",
"\n",
" y = npr.binomial(n=1, p=sigmoid(c * t + d * x), size=N)\n",
"\n",
" y[t == 0] = 1\n",
"\n",
" return r, x, t, y\n",
"\n",
"\n",
"def analytic_R_on_Y(r, a, b, c, d):\n",
" '''Return probability of Y=0 with given parameters.'''\n",
"\n",
" # P(y=0|t=1, x) * p(t=1|r, x) * p(x)\n",
" t_1 = si.quad(\n",
" lambda x: (1 - sigmoid(c * 1 + d * x)) * sigmoid(a * r + b * x) * 1, 0,\n",
" 1)\n",
"\n",
" # P(y=0|t=0, x) * p(t=0|r, x) * p(x)\n",
" # Now equal to 0, hence commented out. See data generation.\n",
" t_0 = si.quad(\n",
" lambda x: (1 - sigmoid(c * 0 + d * x)) * (1 - sigmoid(a * r + b * x)) *\n",
" 1, 0, 1)\n",
"\n",
" return t_1[0] #+ t_0[0]\n",
"\n",
"\n",
"r, x, t, y = generateData()\n",
"\n",
"# Fit predictive models.\n",
"lr_t = LogisticRegression(solver='lbfgs')\n",
"lr_y = LogisticRegression(solver='lbfgs')\n",
"\n",
"lr_t = lr_t.fit(np.array([r, x]).T, t)\n",
"lr_y = lr_y.fit(np.array([t[t == 1], x[t == 1]]).T, y[t == 1])\n",
"\n",
"\n",
"def causal_effect_of_R_on_Y(r):\n",
"\n",
" # Equal to integration of P(Y=0|T=0, X=x) * P(T=0|R=r, X=x) * f(x)\n",
" # from 0 to 1\n",
" print(\"Bias:\",\n",
" si.quad(\n",
" lambda x: lr_y.predict_proba(np.array([[0, x]]))[0, 0] * lr_t.\n",
" predict_proba(np.array([[r, x]]))[0, 0], 0, 1))\n",
"\n",
" # Integrate P(Y=0|T=1, X=x) * P(T=1|R=r, X=x) * f(x) from 0 to 1\n",
" return (si.quad(\n",
" lambda x: lr_y.predict_proba(np.array([[1, x]]))[0, 0] * lr_t.\n",
" predict_proba(np.array([[r, x]]))[0, 1], 0, 1))\n",
"\n",
"\n",
"r0 = causal_effect_of_R_on_Y(0)\n",
"r1 = causal_effect_of_R_on_Y(1)\n",
"\n",
"analytical = analytic_R_on_Y(1, a, b, c, d) - analytic_R_on_Y(0, a, b, c, d)\n",
"\n",
"print(\"Analytical:\", analytical)\n",
"print(\"Estimated: \", r1[0] - r0[0])\n",
"print(\"Difference:\", analytical - r1[0] + r0[0])\n",
"print()\n",
"print(\"Values for P(y=0|do(r=1)) and P(y=0|do(r=0))\\n\")\n",
"print(\"Analytical:\", analytic_R_on_Y(1, a, b, c, d),\n",
" analytic_R_on_Y(0, a, b, c, d))\n",
"print(\"Estimated: \", r1[0], r0[0])"
]
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 28,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"0.0\n",
"0.0006666666666666666\n",
"0.00125\n",
"0.0015833333333333333\n",
"0.0025833333333333333\n",
"0.0035\n",
"0.004583333333333333\n",
"0.006333333333333333\n",
"0.007416666666666667\n",
"0.007833333333333333\n",
"0.008916666666666666\n",
"0.00925\n",
"0.009916666666666667\n",
"0.010833333333333334\n",
"0.012333333333333333\n",
"0.0135\n",
"0.01425\n",
"0.015166666666666667\n",
"0.016\n",
"0.017\n",
"0.017666666666666667\n",
"0.01875\n",
"0.02\n",
"0.021083333333333332\n",
"0.022416666666666668\n",
"0.0235\n",
"0.024083333333333335\n",
"0.025166666666666667\n",
"0.026166666666666668\n",
"0.02775\n",
"0.029\n",
"0.029916666666666668\n",
"0.03158333333333333\n",
"0.03283333333333333\n",
"0.03383333333333333\n",
"0.034833333333333334\n",
"0.036\n",
"0.037\n",
"0.03808333333333333\n",
"0.03941666666666667\n",
"0.04058333333333333\n",
"0.042083333333333334\n",
"0.043666666666666666\n",
"0.044583333333333336\n",
"0.046\n",
"0.04716666666666667\n",
"0.04841666666666666\n",
"0.050166666666666665\n",
"0.0515\n",
"0.053\n",
"0.05491666666666667\n",
"0.05575\n",
"0.05708333333333333\n",
"0.058166666666666665\n",
"0.059416666666666666\n",
"0.06091666666666667\n",
"0.06233333333333333\n",
"0.06383333333333334\n",
"0.06491666666666666\n",
"0.06575\n",
"0.06725\n",
"0.06891666666666667\n",
"0.07\n",
"0.07141666666666667\n",
"0.07283333333333333\n",
"0.07425\n",
"0.07691666666666666\n",
"0.07791666666666666\n",
"0.07933333333333334\n",
"0.0805\n",
"0.08225\n",
"0.08425\n",
"0.08541666666666667\n",
"0.08666666666666667\n",
"0.08841666666666667\n",
"0.08975\n",
"0.09141666666666666\n",
"0.09266666666666666\n",
"0.09391666666666666\n",
"0.095\n",
"0.09633333333333334\n",
"0.09791666666666667\n",
"0.09916666666666667\n",
"0.10066666666666667\n",
"0.10158333333333333\n",
"0.10358333333333333\n",
"0.10466666666666667\n",
"0.10608333333333334\n",
"0.1075\n",
"0.10908333333333334\n",
"0.11033333333333334\n",
"0.11216666666666666\n",
"0.1135\n",
"0.11525\n",
"0.1175\n",
"0.12008333333333333\n",
"0.12133333333333333\n",
"0.12308333333333334\n",
"0.12475\n",
"0.12741666666666668\n",
"0.12941666666666668\n"
]
}
],
"source": [
"r_, x_, t_, y_ = generateData()\n",
"\n",
"\n",
"def bailIndicator(r, y_model, x_train, x_test):\n",
" '''\n",
" Indicator function for whether a judge will bail or jail a suspect.\n",
" \n",
" Algorithm:\n",
" ----------\n",
" \n",
" (1) Calculate recidivism probabilities from training set with a trained \n",
" model and assign them to predictions_train.\n",
" \n",
" (2) Calculate recidivism probabilities from test set with the trained \n",
" model and assign them to predictions_test.\n",
" \n",
" (3) Construct a cumulative distribution function of the probabilities in\n",
" in predictions_train.\n",
" \n",
" (4)\n",
" For pred in predictions_test:\n",
" \n",
" if pred belongs to a percentile (computed from step (3)) lower than r\n",
" return True\n",
" else\n",
" return False\n",
" \n",
" Returns:\n",
" --------\n",
" (1) Boolean list indicating a bail decision (bail = True).\n",
" '''\n",
"\n",
" predictions_train = y_model.predict_proba(x_train)[:, 0]\n",
"\n",
" predictions_test = y_model.predict_proba(x_test)[:, 0]\n",
"\n",
" return [\n",
" scs.percentileofscore(predictions_train, pred, kind='weak') < r\n",
" for pred in predictions_test\n",
" ]\n",
"\n",
"\n",
"recidivated = y_ == 0\n",
"\n",
"for r__ in range(101):\n",
" released_for_bail = bailIndicator(r__, lr_y, np.array([t, x]).T, np.array([t_, x_]).T)\n",
"\n",
" print(np.sum(recidivated & released_for_bail) / y_.shape[0])"
]
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
}
],
"metadata": {
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3",
"language": "python",
"name": "python3"
},
"language_info": {
"codemirror_mode": {
"name": "ipython",
"version": 3
},
"file_extension": ".py",
"mimetype": "text/x-python",
"name": "python",
"nbconvert_exporter": "python",
"pygments_lexer": "ipython3",
"version": "3.7.3"
},
"toc": {
"base_numbering": 1,
"nav_menu": {},
"number_sections": true,
"sideBar": true,
"skip_h1_title": false,
"title_cell": "Table of Contents",
"title_sidebar": "Contents",
"toc_cell": false,
"toc_position": {},
"toc_section_display": true,
"toc_window_display": false
},
"varInspector": {
"cols": {
"lenName": 16,
"lenType": 16,
"lenVar": 40
},
"kernels_config": {
"python": {
"delete_cmd_postfix": "",
"delete_cmd_prefix": "del ",
"library": "var_list.py",
"varRefreshCmd": "print(var_dic_list())"
},
"r": {
"delete_cmd_postfix": ") ",
"delete_cmd_prefix": "rm(",
"library": "var_list.r",
"varRefreshCmd": "cat(var_dic_list()) "
}
},
"types_to_exclude": [
"module",
"function",
"builtin_function_or_method",
"instance",
"_Feature"
],
"window_display": false
}
},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 2
}